Lissajous

Bei Lissajous-Figuren handelt es sich um die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen, deren Richtung senkrecht zueinander stehen. Mathematisch werden sie durch Sinusfunktionen beschrieben, deren Parameter (Amplituden, Kreisfrequenzen und Phasen) das Ergebnis und Aussehen bestimmen. Was hat das mit Computerkunst zu tun?

Der Mathematiker und Ingenieur Ben F. Laposky benutzte seinen Oszillographen, den er mit Sinuswellengeneratoren und weitere  elektronische Komponenten erweiterte, um damit Wellenformen zu erzeugen, abzufotografieren und die Bilder als Computerkunst auszustellen. In seinem Ausstellungskatalog electronic abstractions bezeichnet er die Bilder als Oscillons. Auch Herbert W. Franke stellte mit analoger Technik Linienüberlagerungen her, die er fotografisch festhielt und Lichtformen nannte.

Inzwischen lassen sich die Lissajous-Figuren durch Berechnung mit dem Digitalcomputer (als Simulation) leicht und in vielen Variationen erstellen. Die hier gezeigten Lissajous-Varianten nehmen auf Laposky und Franke Bezug:

Lissajous

lissajousfrequenzlissajousschrittvar

 

 

 

 

 

 

Im Gegensatz zu den anderen Exponaten sind diese Bilder die Visualisierung mathematischer Gleichungen und Zusammenhänge. Um die basalen Eigenschaften, die sich in davon abgeleiteten komplexeren Grafiken immer wieder finden lassen, vorzustellen, sind in der linken Abbildung die Grundformen für mehrere Frequenzverhältnisse bzw. Phasendifferenzen systematisch erzeugt worden. In der rechten Abbildung werden ähnliche Kombinationen durchgespielt, allerdings mit größeren Schrittweiten, wodurch ganz andere Formen entstehen.

Umsetzung mit Snap!: Es werden hier nicht die Prozeduren zur Festlegung der Parameter und Berechnung der Bildschirmpunkte gezeigt. Im Mittelpunkt steht die Berechnung der Funktionswerte in horizontaler (funktionx) und vertikaler (funktiony) Richtung. In reihen werden in einer Schleife die Frequenzen variiert, um dann in 1reihe pro Reihe in einer Schleife die Phasen durchzuspielen. Im funktionsplot werden die resultierenden Linien ausgegeben.


SnapLissajous

Lissajous Variante I – IV

Neben den eigentlichen Kenndaten der Sinusschwingungen bietet vor allem die Variation der Schrittweite (quasi die „Dichte“ der durch Linien verbundenen Funktionspunkte) ein unerschöpfliches Reservoir an (oft überraschenden) Ergebnissen:

Lissa-4Lissa-2

 

 

 

 

 

Lissa-3gestreckt

 

 

 

 

 

Umsetzung mit Snap!:  Die hier gezeigten Varianten sind mit der gezeigten Prozedur funktionsplot zu erstellen (unter Verzicht auf reihen und 1reihe, da es sich ja jeweils um ein Einzelbild handelt), allein durch geeignete Wahl der Parameter.

Sinus-Cosinus-Additionen I – IV

Eine einfache Erweiterung ist die Addition weiterer Komponenten, d.h. die Überlagerung zusätzlicher harmonischer Schwingungen (eine Beschreibung mit schönen Bildbeispielen liefert McKenna, 2011). Auch hier liefert die Variation der Parameter überraschende Ergebnisse. In den Beispielen wurde die Verbindunsgstücke zwischen den Funktionspunkten durch verdickte Farbsegmente bzw. Farbpunkte ersetzt.

McKenna-1McKenna-2

 

 

 

 

 

McKenna-3  McKenna-4

 

 

 

 

Umsetzung mit Snap!: Die bisherigen Prozeduren bleiben nahezu unverändert. Nur funktionx und funktiony werden durch die Summen der Funktionen ersetzt.

Snapmckenna